- Polinomial adalah bentuk aljabar dengan jumlah suku berhingga, pangkat variabel berupa bilangan bulat nonnegatif, dan koefisien konstan. Bentuk linear, kuadrat, hingga konstanta termasuk polinomial.
- Polinomial dikelompokkan berdasarkan derajat dan jumlah suku. Derajat ditentukan oleh pangkat tertinggi dengan koefisien bukan nol setelah penyederhanaan, sedangkan jumlah suku membedakan monomial, binomial, dan trinomial.
- Operasi polinomial menggunakan penggabungan suku sejenis dan sifat distributif. Penjumlahan, pengurangan, serta perkalian menghasilkan polinomial, sementara pembagian dapat menghasilkan hasil bagi dan sisa.
- Fungsi polinomial memiliki grafik sesuai derajat dan koefisiennya, seperti garis lurus untuk linear dan parabola untuk kuadrat. Polinomial digunakan dalam perhitungan luas, pemodelan gerak, serta pendekatan data.
Halo, Sahabat TutorIndonesia!
Pernah menemukan bentuk aljabar seperti
3x2-2x+5? Bentuk tersebut merupakan polinomial atau suku banyak. Materi ini membantu kamu memahami hubungan antara pangkat, koefisien, operasi aljabar, dan grafik fungsi.
Polinomial tidak hanya memiliki pangkat tertinggi lebih dari dua. Bentuk linear seperti 2x+3, bentuk kuadrat seperti x2-4, bahkan konstanta seperti 7 juga termasuk polinomial.
Agar lebih mudah dipahami, yuk pelajari pengertian, syarat, sifat, dan fungsi polinomial melalui contoh soal berikut!
Baca juga: bimbel SNBT
Apa Itu Polinomial atau Suku Banyak?
Sumber: Freepik
Polinomial adalah bentuk aljabar yang terdiri atas sejumlah suku berhingga, dengan pangkat variabel berupa bilangan bulat nonnegatif dan koefisien berupa konstanta. Bilangan bulat nonnegatif yang dimaksud adalah 0, 1, 2, 3, dan seterusnya.
Dalam artikel ini, kita membahas polinomial satu variabel dengan koefisien bilangan real. Contohnya:
Bentuk tersebut terdiri atas empat suku, yaitu 4x3, -3x2, 2x, dan -1. Tanda negatif menjadi bagian dari suku yang mengikutinya.
Bentuk Umum Polinomial
Bentuk umum polinomial satu variabel adalah:
Keterangan:
- x adalah variabel.
- aₙ, aₙ₋₁, …, a₀ adalah koefisien konstan.
- n adalah bilangan bulat nonnegatif.
- Untuk polinomial bukan nol berderajat n, berlaku aₙ ≠ 0.
- a₀ merupakan suku konstanta.
Tidak semua pangkat harus muncul. Misalnya, 2x4+3x-5 tetap merupakan polinomial meskipun suku berpangkat tiga dan dua tidak dituliskan karena koefisiennya nol.
Variabel, Koefisien, Konstanta, dan Derajat
Perhatikan P(x)=4x3-3x2+2x-1.
| Unsur | Nilai atau Penjelasan |
|---|---|
| Variabel | x |
| Koefisien x3 | 4 |
| Koefisien x2 | -3 |
| Koefisien x | 2 |
| Konstanta | -1 |
| Derajat | 3, yaitu pangkat tertinggi dengan koefisien bukan nol |
Geser tabel ke samping untuk melihat seluruh kolom.
Koefisien adalah bilangan yang mengalikan variabel berpangkat tertentu. Sebagai contoh, koefisien x pada suku -x adalah -1, bukan nol.
Apa Saja Syarat Suatu Bentuk Disebut Polinomial?
Ada tiga hal utama yang perlu kamu periksa: pangkat variabel, koefisien, dan jumlah suku.
Pangkat Variabel Berupa Bilangan Bulat Nonnegatif
Pangkat variabel pada setiap suku harus berupa bilangan bulat nonnegatif. Jadi, x2, x5, dan x diperbolehkan. Konstanta juga diperbolehkan karena merupakan suku berpangkat nol.
Sebaliknya, bentuk seperti x⁻¹ dan x1/2 bukan suku polinomial dalam x. Ingat bahwa √x=x1/2, sedangkan 1/x=x⁻¹.
Jika masih bingung mengubah bentuk akar dan pecahan menjadi bentuk pangkat, kamu dapat mempelajari pangkat bilangan bulat dan bentuk akar terlebih dahulu.
Koefisien Merupakan Konstanta
Koefisien tidak bergantung pada variabel yang sedang dibahas. Dalam polinomial real, koefisien dapat berupa bilangan bulat, pecahan, maupun bilangan irasional.
Contoh:
Bentuk ini merupakan polinomial karena pangkat variabelnya memenuhi syarat. Pecahan ½ dan akar 2 hanya menjadi koefisien konstan.
Jadi, adanya pecahan atau tanda akar tidak otomatis membuat suatu bentuk bukan polinomial. Perhatikan apakah variabel berada di dalam akar atau penyebut.
Jumlah Suku Berhingga
Polinomial memiliki jumlah suku yang berhingga. Bentuk 1+x+x²+⋯x3 merupakan polinomial, sedangkan deret tak berhingga 1+x+x²+⋯ bukan polinomial.
Perkalian juga diperbolehkan. Contohnya, (x+1)(x-2) merupakan polinomial karena dapat dikembangkan menjadi x2-x-2.
Bagaimana Membedakan Polinomial dan Bukan Polinomial?
Gunakan tabel berikut untuk membandingkan beberapa bentuk aljabar.
| Bentuk | Polinomial? | Alasan |
|---|---|---|
| 3x2 – 2x + 5 | Ya | Pangkat variabel adalah 2, 1, dan 0 |
| 7 | Ya | Konstanta bukan nol merupakan polinomial berderajat 0 |
| ½x2 + 3 | Ya | Koefisien pecahan diperbolehkan |
| √2x + 1 | Ya | Akar hanya terdapat pada koefisien konstan |
| (x + 1)2 | Ya | Dapat dikembangkan menjadi x2 + 2x + 1 |
| x-1 + 2 | Tidak | Memiliki pangkat variabel negatif |
| √x + 3 | Tidak | Memiliki pangkat variabel ½ |
| 1/(x + 1) | Tidak | Variabel berada pada penyebut dan tidak membentuk polinomial |
| 2x + 1 | Tidak | Variabel menjadi eksponen, bukan basis berpangkat bulat nonnegatif |
Geser tabel ke samping untuk melihat seluruh kolom.
Hati-hati dengan bentuk yang tampak dapat disederhanakan. Misalnya:
Hasil penyederhanaannya adalah bentuk polinomial, tetapi fungsi pecahan semula tetap tidak terdefinisi pada x=1. Karena itu, fungsi semula tidak sama dengan fungsi polinomial f(x)=x+1 yang didefinisikan untuk semua bilangan real.
Apa Saja Jenis dan Sifat Polinomial?
Polinomial dapat dikelompokkan berdasarkan derajat maupun jumlah sukunya. Kedua pengelompokan tersebut menjelaskan hal yang berbeda.
Jenis Polinomial Berdasarkan Derajat
| Jenis | Derajat | Contoh |
|---|---|---|
| Konstanta bukan nol | 0 | P(x) = 5 |
| Linear | 1 | P(x) = 2x + 3 |
| Kuadrat | 2 | P(x) = x2 – 4x + 4 |
| Kubik | 3 | P(x) = x3 – 2x + 1 |
| Kuartik | 4 | P(x) = x4 – 3x2 + 2 |
| Derajat tinggi | Lebih dari 3 | P(x) = x5 + 2x – 1 |
Geser tabel ke samping untuk melihat seluruh kolom.
Polinomial berderajat empat atau lima bukan fungsi kuadrat. Sebutan kuadrat khusus untuk derajat dua.
Jenis Berdasarkan Jumlah Suku
Setelah suku sejenis digabungkan, bentuk satu suku disebut monomial, dua suku disebut binomial, dan tiga suku disebut trinomial.
- Monomial: 5x3.
- Binomial: x2-4.
- Trinomial: x2+2x+1.
Jumlah suku tidak menentukan derajat. Sebagai contoh, x5+1 merupakan binomial berderajat lima.
Derajat Ditentukan Setelah Penyederhanaan
Gabungkan suku sejenis sebelum menentukan derajat. Contoh:
Derajat hasilnya adalah 2 karena suku berpangkat tiga saling menghilangkan. Polinomial P(x)=0 disebut polinomial nol; derajatnya tidak didefinisikan dalam pembahasan dasar ini.
Operasi Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian Menghasilkan Polinomial
Hasil penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dua polinomial tetap merupakan polinomial.
Untuk dua polinomial bukan nol, derajat hasil perkaliannya sama dengan jumlah derajat keduanya. Sementara itu, derajat hasil penjumlahan dapat turun jika suku tertinggi saling menghilangkan.
Baca juga: Sifat-Sifat Operasi Aljabar, Contoh Soal, dan Pembahasan.
Bagaimana Melakukan Operasi pada Polinomial?
Kunci operasi polinomial adalah mengenali suku sejenis dan menggunakan sifat distributif dengan tepat.
Penjumlahan dan Pengurangan Menggabungkan Suku Sejenis
Misalkan:
Penjumlahannya:
Pengurangannya:
= 2x2+3x−1−x2+x−4
= x2+4x−5
Perhatikan bahwa tanda negatif di depan kurung mengubah tanda setiap suku di dalamnya.
Perkalian Menggunakan Sifat Distributif
Contoh:
= x2−x−6
Kalikan setiap suku pada faktor pertama dengan setiap suku pada faktor kedua, kemudian gabungkan suku sejenis.
Pembagian Dapat Menghasilkan Hasil Bagi dan Sisa
Pembagian polinomial dapat dituliskan sebagai:
Di sini, D(x) adalah pembagi bukan nol, Q(x) hasil bagi, dan R(x) sisa. Sisa harus nol atau memiliki derajat lebih rendah daripada pembagi.
Contoh:
Jadi, pembagian x2+1 oleh x-1 menghasilkan hasil bagi x+1 dan sisa 2. Pembagian tidak selalu menghasilkan polinomial sebagai hasil pecahannya.
Apa Itu Fungsi Polinomial dan Bagaimana Grafiknya?
Fungsi polinomial adalah fungsi yang rumusnya berupa polinomial, misalnya f(x)=x2-4x+3. Untuk koefisien real, domain alaminya adalah seluruh bilangan real.
Fungsi berbeda dari persamaan. Bentuk f(x)=x2-4x+3 menyatakan aturan fungsi, sedangkan x2-4x+3=0 merupakan persamaan untuk mencari nilai x yang membuat polinomial bernilai nol.
Untuk memahami hubungan input dan output, kamu juga dapat membaca materi relasi dan fungsi.
Grafik Linear Berbentuk Garis Lurus
Fungsi linear memiliki bentuk f(x)=ax+b, dengan a ≠ 0. Koefisien a menentukan kemiringan garis, sedangkan b menentukan titik potong pada sumbu y, yaitu (0,b).
Grafik Kuadrat Berbentuk Parabola
Fungsi kuadrat memiliki bentuk f(x)=ax2+bx+c, dengan a ≠ 0. Grafiknya terbuka ke atas jika a>0 dan ke bawah jika a<0. Parabola mempunyai satu titik puncak yang merupakan titik minimum atau maksimum.
Grafik Kubik Memiliki Satu Titik Belok
Fungsi kubik berbentuk f(x)=ax3+bx2+cx+d, dengan a ≠ 0. Fungsi kubik real mempunyai satu titik belok. Namun, grafiknya tidak selalu mempunyai titik maksimum atau minimum lokal.
Bedakan dua istilah berikut:
- Titik balik atau ekstrem lokal: tempat fungsi mencapai maksimum atau minimum lokal dan arah naik-turunnya berubah.
- Titik belok: tempat kecekungan grafik berubah.
Contohnya, f(x)=x3 mempunyai titik belok di (0,0), tetapi tidak mempunyai maksimum atau minimum lokal. Sementara itu, f(x)=x3-3x mempunyai dua titik ekstrem lokal.
Grafik Derajat Tinggi Dipengaruhi Suku Utama
Pada f(x)=aₙxⁿ+⋯+a₀, suku aₙxⁿ menentukan perilaku ujung grafik ketika x menuju positif atau negatif tak berhingga.
- Derajat genap: kedua ujung grafik mengarah ke arah yang sama; ke atas jika aₙ>0, ke bawah jika aₙ<0.
- Derajat ganjil: kedua ujung grafik mengarah berlawanan; jika aₙ>0, ujung kiri turun dan ujung kanan naik. Jika aₙ<0, arahnya terbalik.
Semua fungsi polinomial real kontinu dan dapat diturunkan di seluruh bilangan real. Grafiknya tidak memiliki lubang atau asimtot vertikal.
Baca juga: Tips Memilih Guru Les Privat.
Apa Manfaat Polinomial dalam Matematika dan Kehidupan Sehari-hari?
Polinomial digunakan untuk memodelkan hubungan antarbesaran dan menyelesaikan masalah aljabar. Contoh sederhana dapat ditemukan pada luas persegi panjang.
Jika panjangnya x+3 meter dan lebarnya x+1 meter, luasnya:
Dalam konteks ukuran tersebut, nilai x harus memenuhi syarat kedua sisi positif, yaitu x>-1. Ini menunjukkan bahwa domain dalam penerapan dapat lebih terbatas daripada domain alami fungsi polinomial.
Polinomial juga dipakai dalam pendekatan data serta model gerak tertentu. Misalnya, pada model gerak dengan percepatan konstan, posisi sebagai fungsi waktu berbentuk polinomial kuadrat. Penggunaan model tetap perlu disesuaikan dengan asumsi dan kondisi masalah.
Baca juga: Matematika Terasa Semakin Sulit? Kenali Penyebabnya.
4. Periksa Penambahan, Pengurangan, dan Perkalian
Fungsi polinomial dapat melibatkan penambahan, pengurangan, dan perkalian koefisien serta variabel, tetapi tidak melibatkan operasi yang menghasilkan eksponen bukan bilangan bulat atau variabel dalam penyebut.
Contoh:
Fungsi p(x)=6×2−4x+5 adalah fungsi polinomial.
Fungsi q(x)=(x+1)2 juga merupakan fungsi polinomial karena setelah diekspansi menjadi x2+2x+1.
Ingin Lebih Paham Polinomial? Belajar Bersama TutorIndonesia
Memahami definisi polinomial merupakan langkah awal. Kamu juga perlu terbiasa membaca pangkat, mengelompokkan suku sejenis, dan memilih langkah penyelesaian yang tepat. Jika masih sering salah tanda atau bingung ketika soal berubah, pendampingan belajar dapat membantu mengenali bagian yang perlu diperkuat.
Melalui les privat matematika, kamu dapat mendiskusikan kebutuhan belajar dan mencari pendampingan untuk materi yang belum dipahami. Fokus persiapan bisa dimulai dari dasar aljabar, kemudian dilanjutkan ke operasi polinomial serta latihan soal.
Ayah/Bunda juga dapat mendiskusikan kesulitan ananda agar pemilihan tutor dan materi pendampingan lebih sesuai dengan kebutuhannya.
Yuk, konsultasikan kebutuhan belajar matematika melalui telepon (021) 77844897 atau Anda juga dapat menghubungi kami melalui WhatsApp 087896080154. klik www.tutorindonesia.co.id untuk mendapatkan informasi lebih lanjut agar konsultasinya lebih terarah.
Tidak. Konstanta bukan nol, bentuk linear, dan bentuk kuadrat juga termasuk polinomial. Istilah polinomial tidak terbatas pada bentuk kubik atau derajat yang lebih tinggi. Ya. Namun, yang harus memenuhi syarat pangkat bulat nonnegatif adalah variabelnya. Tidak. Konstanta bukan nol berderajat nol, sedangkan derajat polinomial nol tidak didefinisikan dalam pembahasan dasar. Keduanya perlu dibedakan. Mulailah dari operasi bilangan, aturan pangkat, suku sejenis, dan sifat distributif. Setelah itu, pelajari substitusi nilai variabel serta operasi bentuk aljabar. Penguasaan dasar membantu kamu mengikuti pembahasan soal secara bertahap. Pertimbangkan pendampingan jika kamu terus mengulang kesalahan yang sama atau belum memahami alasan di balik langkah penyelesaian. Konsultasikan materi yang sulit kepada TutorIndonesia untuk membahas kebutuhan belajar dan pilihan pendampingan yang sesuai.Frequently Asked Questions (FAQ)
Related Posts:
Pilihan Les Matematika Online Terdekat dan Terpercaya
Pengertian dan Jenis Konfigurasi Elektron
Banyak Artis yang Percaya Terhadap Kualitas Les Privat Matematika ini
7 Soal Matematika SD Kelas 2 yang Perlu Kamu Kuasai!
Bimbel privat Matematika IPA B. Inggris Terdekat di Depok
